Vecteurs

Définition : un vecteur est un opérateur mathématique représenté graphiquement par un segment fléché.

Notation : un vecteur s'écrit le plus souvent à l'aide de deux lettres en majuscule surmontées d'une flèche, mais on trouve parfois une notation à l'aide d'une seule lettre en minuscule (exemple : le vecteur \(\vec{u}\)).

Exemple

Le vecteur \(\vec{AB}\).

Le point \(A\) est l'origine du vecteur \(\vec{AB}\) et le point \(B\) est son extrémité.

Un vecteur possède plusieurs caractéristiques :

• une direction ;
  
• un sens ;
  
• une norme (ou longueur).

Exemple

Le vecteur `\vec(AB)` a :

• une direction horizontale ;
  
• un sens allant du point \(A\) vers le point \(B\) ;
• une norme notée \(\left\|\vec{AB}\right\|= 5 \,\text{cm}\).

Propriétés

• Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
  
• Deux vecteurs sont opposés si et seulement s'ils ont la même direction, la même norme mais de sens opposés.
  
• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction mais pas forcément le même sens et la même norme.
  
• Le vecteur nul se note \(\vec{0}\) et sa caractéristique est que sa longueur est nulle.

Exemples

• Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont égaux car ils ont même direction, même sens et même norme.
• Les vecteurs \(\vec{GH}\) et \(\vec{IJ}\) sont opposés car ils ont même direction, même norme mais sont de sens opposés.
• Les vecteurs \(\vec{EF}\) et \(\vec{KL}\) sont colinéaires car ils ont la même direction mais pas forcément la même norme et le même sens.
• Si deux points \(M\) et \(N\) sont confondus alors on dit que le vecteur \(\vec{MN}=\vec0\) (vecteur nul).